Question

19．如图．在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点F，∠BCE=45°
（1）求证：BF=AC；
（2）延长CE到G，使CG=AB，求证：点F、G关于直线AB对称．

Answer 1

分析 （1）由垂直的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，由∠BFE=∠CFD，得到∠ABD=∠ACE，推出△EBC都为等腰直角三角形，得到BE=CE，证得△BEF≌△CEA（ASA），根据全等三角形的性质即可得到结论．
（2）由CE⊥AB，得到∠AEG=90°，根据全等三角形的性质得到AE=EF，由于CG=AB，BE=CE，于是得到GE=AE，求得GE=EF，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90°，
∵∠BFE=∠CFD，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠BCG=45°，
∴△EBC都为等腰直角三角形，
∴BE=CE，
在△BEF和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠AEC}\\{BE=CE}\\{∠ABD=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△CEA（ASA），
∴BF=AC；

（2）∵CE⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∵△BEF≌△CEA，
∴AE=EF，
又∵CG=AB，BE=CE，
∴GE=AE，
∴GE=EF，
又∵CE⊥AB，
∴F、G关于AB对称．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．