Question

如图，二次函数y=ax²-4x+c的图象过原点，与x轴交于点A（-4，0）．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）在抛物线上存在点P，满足S_△AOP=8，求出点P的坐标．
（3）将图中抛物线向右平移m个单位，使所得到的图象恰好与直线y=2x只有一个公共点，求m的值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（1）把原点与A坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出解析式；
（2）由AO的长以及三角形AOP的面积，求出P纵坐标，进而确定出横坐标即可；
（3）表示出向右平移m个单位的解析式，与y=2x联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，根据两函数只有一个公共点得到根的判别式等于0，求出m的值即可．

解答：解：（1）把A（-4，0）与原点（0，0）代入得：

c=0 16a+16+c=0

，
解得：a=-1，c=0，
则二次函数的解析式为y=-x²-4x；
（2）设P纵坐标为b，
∵OA=4，S_△AOP=8，
∴

1

2

•OA•|b|=8，即|b|=4，
解得：b=4或-4，
当b=4时，可得-x²-4x=4，解得x=-2，
∴P（-2，4）；
当b=-4时，可得-x²-4x=-4，解得x₁=-2+2

2

，x₂=-2-2

2

，
∴P（-2+2

2

，-4）或（-2-2

2

，-4）；
（3）由题意得到平移后抛物线解析式为y=-（x+2-m）²+4，
与y=2x联立消去y得：2x=-（x+2-m）²+4，
整理得：x²+（6-2m）+m²-4m=0，
由两函数只有一个交点，得到△=0，
即（6-2m）²-4（m²-4m）=0，
解得：m=4.5．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．