Question

在△ABC中，D是BC上的一点，∠DAC=∠B=60°，AD=

13

，AB=4，求AC的长度．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：设BD=x，DC=y，易证△CAD∽△CBA，根据相似三角形的性质可得AC²=CD•CB=y（x+y）．在△ABD中运用余弦定理可求出x的值，由于x的值有两个，故需分情况讨论，然后只需在△ABC中运用余弦定理就可求出y的值，从而求出AC的长度．

解答：解：设BD=x，DC=y，
∵∠DAC=∠B=60°，∠C=∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴

CA

CB

=

CD

CA

，
∴AC²=CD•CB=y（x+y）．
在△ABD中，
根据余弦定理可得：
AD²=AB²+BD²-2AB•BD•cos∠B．
∵AD=

13

，AB=4，BD=x，∠B=60°，
∴13=16+x²-2×4x×

1

2

，
整理得：x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3．
①当BD=x=1时，如图1，

此时AC²=CD•CB=y（1+y）．
在△ABC中，
根据余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠B．
∵AC²=y（1+y），AB=4，BC=1+y，∠B=60°，
∴y（1+y）=16+（1+y）²-2×4（1+y）×

1

2

解得：y=

13

3

，
∴AC²=

13

3

×（1+

13

3

）=

16×13

9

，
∴AC=

4 13

3

．
②当BD=x=3时，如图2，

此时AC²=CD•CB=y（3+y）．
在△ABC中，
根据余弦定理可得：
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠B．
∵AC²=y（3+y），AB=4，BC=3+y，∠B=60°，
∴y（3+y）=16+（3+y）²-2×4（3+y）×

1

2

解得：y=13，
∴AC²=13×（3+13）=16×13，
∴AC=4

13

．
综上所述：AC的长度为

4 13

3

或4

13

．

点评：本题主要考查了余弦定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，运用余弦定理和相似三角形的性质是解决本题的关键．