Question

如图，等边△ABC，AB=4，点P是射线AC上的一动点，联结BP，作BP的垂直平分线交线段BD于点D，交射线BA于点Q，分别联结PD，PQ．
（1）当点P在线段AC的延长线上时，
①求∠DPQ的度数，并求证：△DCP∽△PAQ；
②设CP=x，AQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面积．

Answer 1

考点：相似形综合题,三角形的外角性质,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质

专题：综合题

分析：（1）①根据线段垂直平分线的性质可得BD=PD，BQ=PQ，即可证到△BDQ≌△PDQ，从而有∠DPQ=∠DBQ=60°；易证∠APQ=∠CDP，∠DCP=∠QAP，就可证到△DCP∽△PAQ；
②利用△DCP∽△PAQ可求出CD、BD（用x、y的代数式表示），然后根据CD+BD=BC=4就可得到y关于x的函数解析式，然后根据x、y均为正数可求出x的范围；
（2）①当点P在AC的延长线上时，∠DCP=120°，由△PCD是等腰三角形，可得CP=CD，由此可得到y=x+4，把它代入函数关系式，就可求出x的值，从而可求出CP、AP、AQ的值，就可求出△APQ的面积；②当点P在线段AC上时，∠C=60°，由△PCD是等腰三角形可得△PCD是等边三角形，从而有∠BDP=120°，进而可求出
∠DPB=30°，∠BPC=90°，根据等腰三角形的性质可得AP=CP=2．由△DCP∽△PAQ，△PCD是等边三角形可得△APQ也是等边三角形，就可求出△APQ的面积．

解答：解：（1）①如图1，
∵DQ是线段BP的中垂线，
∴BD=PD，BQ=PQ．
在△BDQ和△PDQ中，

BD=PD BQ=PQ DQ=DQ

，
∴△BDQ≌△PDQ（SSS），
∴∠DPQ=∠DBQ=60°，
∴∠CPD+∠APQ=60°．
又∵∠ACB=∠CDP+∠CPD=60°，
∴∠APQ=∠CDP．
又∵∠DCP=∠QAP=120°，
∴△DCP∽△PAQ；
②∵△DCP∽△PAQ，
∴

CD

AP

=

CP

AQ

=

DP

PQ

，
∴

CD

x+4

=

x

y

=

BD

4+y

，
∴CD=

x2+4x

y

，BD=

4x+xy

y

，
∵BC=BD+CD=4，
∴

4x+xy

y

+

x2+4x

y

=4，
整理得：y=

x2+8x

4-x

．
∵x＞0，y＞0，∴0＜x＜4．
∴y关于x的函数解析式为y=

x2+8x

4-x

，它的定义域为0＜x＜4；

（2）①当点P在线段AC的延长线上时，∠DCP=120°．
∴当△PCD是等腰三角形时，CD=CP，
∴

x2+4x

y

=x，
∴y=x+4，
∴

x2+8x

4-x

=x+4，
解得：x₁=-2-2

3

（舍去），x₂=-2+2

3

，
∴CP=-2+2

3

，
∴AQ=AP=AC+CP=4-2+2

3

=2+2

3

．
过点Q作QH⊥AP，交PA的延长线于点H，如图2，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

AP•AQ•sin∠HAQ
=

1

2

×（2+2

3

）²×

3

2

=4

3

+6；
②当点P在线段AC上时，∠C=60°，
∴当△PCD是等腰三角形时，△PCD是等边三角形，
∴∠BDP=120°．
又∵BD=DP，
∴∠DBP=∠DPB=30°，
∴∠BPC=90°，即BP⊥AC．
∵BC=BA，
∴AP=CP=2．
∵△DCP∽△PAQ，△PCD是等边三角形，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP=AQ．
过点Q作QH⊥AP于H，如图3，
∴S_△APQ═

1

2

AP•QH=

1

2

AP•AQ•sin∠HAQ=

1

2

×2×2×

3

2

=

3

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，运用（1）中结论求出CD、BD（用x、y的代数式表示），并利用CD+BD=BC=4建立等式是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．