Question

△ABC中，∠BAC=45°，S_△ABC=12，BC=4，点D、E、F为BC、AB、AC边上的动点，则△DEF周长的最小值为

 

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Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：在BC上任取一点D，连接AD，把△ABD沿AB翻折得△ABD′，把△ACD沿AC翻折得△ACD″，连接D′D″交AB、AC于E、F．连接DE，DF，根据已知条件得出△AD′D″是等腰直角三角形，求得D′D″=

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AD，此时△DEF周长的最小值=

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AD，根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，由三角形的面积就可求得AD的最小值，从而求得△DEF的周长的最小值．

解答：解：在BC上任取一点D，连接AD，
把△ABD沿AB翻折得△ABD′，把△ACD沿AC翻折得△ACD″，
∵∠BAC=45°，
∴∠D′AD″=90°，AD=AD′=AD″，
连接D′D″交AB、AC于E、F．连接DE，DF，
∵DE=D′E，DF=D″F，
∴△DEF的周长的最小值=DE+DF+EF=D′E+EF+D″F=D′D″=

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AD，
∵根据垂线段最短可知AD⊥BC时AD的值最小，
∵S_△ABC=12，BC=4，
∴AD的最小值=6，
∴△DEF的周长的最小值=6

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故答案为：6

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点评：本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，最短路线问题，作出D、E、F点是本题的关键．