Question

2．如图，一抛物线经过点A（-2，0），点B（0，4）和点C（4，0），该抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的函数关系式及顶点D坐标．
（2）如图，若P为线段CD上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，求四边形PMAB的面积的最大值和此时点P的坐标．
（3）过抛物线顶点D，作DE⊥x轴于E点，F（m，0）是x轴上一动点，若以BF为直径的圆与线段DE有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-4），把（0，4）代入求得a=-$\frac{1}{2}$，从而可求得抛物线的解析式，然后依据配方法可求得抛物线的顶点坐标；
（2）依据待定系数法可求得直线CD的解析式为y═-$\frac{3}{2}$x+6．设点P的坐标为（a，-$\frac{3}{2}$a+6），则PM=-$\frac{3}{2}$a+6，然后根据S_PMAB=S_△AOB+S_PMOB可求得四边形PMAB的面积与a的函数关系式，最后依据配方法可求得四边形的最大面积以及点P的坐标；
（3）先依据勾股定理可求得BF²=m²+16，即r=$\frac{{m}^{2}}{4}+4$，当如图1所示；当圆G与DE相切时，GH=r=（1-$\frac{m}{2}$）得到（1-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4，可求得m=-3，
如图2所示：点F在点E右侧且该圆经过点D时．由两点间的距离公式可知DG²=r²=（$\frac{m}{2}-1$）²+（$\frac{9}{2}-2$）²可知$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=（$\frac{m}{2}$-1）²+（$\frac{5}{2}$）²，从而可解得m=$\frac{13}{4}$，故此可求得m的取值范围是-3≤m≤$\frac{13}{4}$．

解答 解：（1）由题意设y=a（x+2）（x-4），把（0，4）代入得：-8a=4，
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴该抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4）．
整理得：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4．
∵y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
∴顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）．
（2）设直线CD的函数关系式为y=kx+b，
∵把C（4，0），D（1，$\frac{9}{2}$）代入得k=-$\frac{3}{2}$，b=6，
∴直线CD的函数关系式为y=-$\frac{3}{2}$x+6．
设点P的坐标为（a，-$\frac{3}{2}$a+6），
∵S_PMAB=S_△AOB+S_PMOB，
∴四边形PMAB的面积=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（-$\frac{3}{2}$a+6+4）×a=-$\frac{3}{4}$a²+5a+4=-$\frac{3}{4}$（a-$\frac{10}{3}$）²+$\frac{37}{3}$．
∴当a=$\frac{10}{3}$时，四边形PMAB的面积最大，最大面积为$\frac{37}{3}$．
∴点P的坐标为（$\frac{10}{3}$，1）．
（3）∵点F的坐标为（m，0），点B的坐标为（0，4）
∴圆心G的坐标为（$\frac{m}{2}$，2）．
在Rt△BOF中由勾股定理可知：BF²=OB²+OF²=16+m²=4r²．
①如图1所示；当圆G与DE相切时．

∵DE与圆G相切，
∴r=1-$\frac{m}{2}$．
r²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4．
∴（1-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{{m}^{2}}{4}$+4．
解得：m=-3．
②如图2所示：点F在点E右侧且该圆经过点D时．

∵点D在圆G上，
∴DG²=（$\frac{m}{2}-1$）²+（$\frac{9}{2}-2$）²=r²．
∴$\frac{{m}^{2}}{4}$+4=（$\frac{m}{2}$-1）²+（$\frac{5}{2}$）²．
解得：m=$\frac{13}{4}$．
综上所述，m的取值范围为-3≤m≤$\frac{13}{4}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的最值、三角形、梯形的面积公式、勾股定理、切线的性质、两点之间的距离公式，根据圆与线段DE的关系列出关于m的方程是解题的关键．