Question

12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．
（1）求证：△AEF≌△BEC；
（2）连接BF，试判定BF与AD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠FAE=∠EBC，根据ASA推出两三角形全等即可；
（2）先推出四边形AFBC是矩形，根据矩形的性质得出∠AFB=90°，即可得出答案．

解答 （1）证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
在△AEF和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EBC}\\{AE=BE}\\{∠FEA=∠BEC}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△BEC（ASA）；

（2）解：BF⊥AD，
理由是：∵△AEF≌△BEC，
∴EF=EC，
∵AE=BE，
∴四边形AFBC是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形AFBC是矩形，
∴∠BFA=90°，
∴BF⊥AD．

点评 本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，能推出△AEF≌△BEC是解此题的关键．