Question

9．如图，已知点A（-4，6）在抛物线y=ax²-2上，点B是抛物线y=ax²-2与x轴负半轴的交点．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）在y轴上是否存在一点Q，使得QA+QB最小？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先把A（-4，6）代入y=ax²-2可解得a=$\frac{1}{2}$，则抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2，再通过解方程$\frac{1}{2}$x²-2=0得到点B的坐标为（-2，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0）；
（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C，则C（2，0），抛物线的对称轴为y轴，连结AC交y轴于点Q，则QB=QC，利用两点之间线段最短可判断此时QA+QB最小，接着利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-x+2，然后计算自变量为0时的函数值即可得到满足条件的Q点坐标．

解答 解：（1）把A（-4，6）代入y=ax²-2得16a-2=6，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2，
当y=0时，y=$\frac{1}{2}$x²-2=0，解得x₁=-2，x₂=2，
所以点B的坐标为（-2，0），抛物线与x轴的另一个交点坐标为（2，0）；
（2）存在．
设抛物线与x轴的另一个交点为C，则C（2，0），抛物线的对称轴为y轴，
连结AC交y轴于点Q，则QB=QC，
因为AQ+BQ=AQ+QC=AC，
所以此时QA+QB最小，
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-4，6），C（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=6}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以直线AC的解析式为y=-x+2，
当x=0时，y=-x+2=2，
所以满足条件的Q点坐标为（0，2）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了最短路径问题．