如图1.二次函数y=ax2+bx+3$\sqrt{3}$经过点A两点．(1)求这个二次函数的解析式,(2)若点M时抛物线在第一象限图象上的一点.求△ABM面积的最大值,(3)抛物线的对称轴交x轴于点P.过点E(0.$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$)作x轴的平行线.交AB于点F.是否存在着点Q.使得△FEQ∽△BEP?若存在.请直接写出点Q的坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图1，二次函数y=ax²+bx+3$\sqrt{3}$经过点A（3，0），G（-1，0）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若点M时抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴交x轴于点P，过点E（0，$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$）作x轴的平行线，交AB于点F，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得ME的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
（3）即可确定△BEP，根据相似三角形的判定定理即可求得点Q的坐标，解题时要注意答案的不唯一性．

解答解：（1）将A、G点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+3\sqrt{3}=0}\\{a-b+3\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\sqrt{3}$x²+2$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$；
（2）作ME⊥x轴交AB于E点，如图1
，
当x=0时，y=3$\sqrt{3}$，即B点坐标为（0，3$\sqrt{3}$）
直线AB的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，
设M（n，-$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$），E（n，-$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$），
ME═-$\sqrt{3}$n²+2$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$-（-$\sqrt{3}$n+3$\sqrt{3}$）=-$\sqrt{3}$n²+5$\sqrt{3}$n，
S_△ABM=$\frac{1}{2}$ME•x_A=$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}$n²+5$\sqrt{3}$n）×3=-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$（n-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{75\sqrt{3}}{8}$，
当n=$\frac{5}{2}$时，△ABM面积的最大值是$\frac{75\sqrt{3}}{8}$；
（3）存在；理由如下：
OE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AP=2，OP=1，BE=3$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
当y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$时，-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{7}{3}$，即EF=$\frac{7}{3}$
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3），
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度，
∴C点坐标为（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-1），
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC，
由$\frac{BE}{EF}$=$\frac{B′E}{EF}$=$\frac{CE}{EQ}$=$\sqrt{3}$，
可得Q的坐标为（-$\frac{2}{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-$\frac{2}{3}$，$\frac{5\sqrt{3}}{3}$）也符合条件．