Question

11．已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，延长ED、AB交于点F．求证：$\frac{AB}{AC}$=$\frac{DF}{FA}$．

Answer 1

分析 由已知条件得到∠BAC=∠ADB=90°，根据余角的性质得到∠BAD=∠C，由直角三角形的性质和对顶角相等得到∠BAD=∠BDF，推出△DFB∽△AFD，于是得到$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$，根据已知条件推出△ABD∽△CAD；于是得到$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$，等量代换即可得到结论．

解答 证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC于D，
∴∠BAC=∠ADB=90°，
∴∠BAD+∠ABD=∠ABD+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵E是AC的中点，
∴DE=CE，
∴∠C=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠F=∠F，
∴△DFB∽△AFD，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DF}{AF}$，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$，
∴AB：AC=DF：AF．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，证明△DFB∽△AFD是解题的关键．