Question

已知：二次函数的图象与x轴交于点A，B（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，△ABC的面积为12．

（1）①填空：二次函数图象的对称轴为    ；

      ②求二次函数的解析式；

（2） 点D的坐标为（－2，1），点P在二次函数图象上，∠ADP为锐角，且，求点P的横坐标；

（3）点E在x轴的正半轴上，，点O与点关于EC所在直线对称．作⊥于点N，交EC于点M．若EM·EC＝32，求点E的坐标．

Answer 1

解：（1）①该二次函数图象的对称轴为直线；

②∵ 当x=0时，y=－4，

∴ 点C的坐标为．

∵ ＝12，

∴ AB=6．

又∵点A，B关于直线对称，

∴ A点和B点的坐标分别为，．

∴ ．解得  ．

∴ 所求二次函数的解析式为．

   （2）如图，作DF⊥x轴于点F．分两种情况：

(ⅰ)当点P在直线AD的下方时，如图所示．

由（1）得点A，点D，

∴ DF=1，AF=2．

在Rt△ADF中，，得．

延长DF与抛物线交于点P₁，则P₁点为所求．

∴ 点P₁的坐标为．

(ⅱ)当点P在直线AD的上方时，延长P₁A至点G使得AG=AP₁，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示．

可证 △GHA≌△．

∴ HA =AF，GH = P₁ F，GA =P₁A．

又∵ ，，

∴ 点的坐标是．

在△ADP₁中，

，DP₁＝５，

，

∴ ．

∴ ．

∴ DA⊥．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

设DG与抛物线的交点为P₂，则P₂点为所求．

作DK⊥GH于点K，作P₂S∥GK交DK于点S．

设P₂点的坐标为，

则，．

由，，，得．

整理，得 ．

解得．

∵ P₂点在第二象限，

∴ P₂点的横坐标为（舍正）．

综上，P点的横坐标为－2或．

（3）如图，连接O，交CE于T．连接C．

∵ 点O与点关于EC所在直线对称，

∴ O⊥CE，CE，∠CE ．

∴ C⊥E．

∵ ON⊥E，

∴ C∥N．

∴ C E ．

∴ ．

∴ ．

∵ 在Rt△ETO中，，，

在Rt△中，，，

∴ ．

∴

．

同理 ．

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ 点E在x轴的正半轴上，

∴ E点的坐标为)．