Question

如图，在矩形ABCD中，E是CD边上任意一点（不与点C，D重合），作AF⊥AE交CB的延长线于点F．

（1）求证：△ADE∽△ABF；

（2）连接EF，M为EF的中点，AB＝4，AD＝2，设DE＝x，

     ①求点M到FC的距离（用含x的代数式表示）；

     ②连接BM，设，求y与x之间的函数关系式，并直接写出BM的长度的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵ 在矩形ABCD中，∠DAB =∠ABC =∠C =∠D =90°．

∴ ．

∵ AF⊥AE，

∴ ∠EAF =．

∴ ．

∴ ∠DAE =∠BAF．

∴ △ADE∽△ABF．

（2）解：①如图，取FC的中点H，连接MH．

∵ M为EF的中点，

∴ MH∥DC ，．

∵ 在矩形ABCD中，∠C =90°，

∴ MH⊥FC，即MH是点M到FC的距离．

∵ DE=x，DC=AB=4．

∴ EC=，

∴ ．

即点M到FC的距离为MH．

②∵△ADE∽△ABF，

∴ ．

∴ ．

∴ ，FC=，FH= CH=．

∴ ．

∵ ，

∴ 在Rt△MHB中，

．

∴ （），

当时，BM长的最小值是．