Question

如图，在△ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，点P从点C出发，沿CA以2.5cm/s的速度向点A运动．同时点Q从B点出发沿BC以4cm/s的速度向C运动，PQ中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动时间为t．
（1）当CQ=CP时，求t的值；
（2）当t为何值时，PQ∥AB；
（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出S的取值范围．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例,根据实际问题列二次函数关系式,等腰三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）利用两点运动路线以及结合运动速度得出CQ=30-4t，CP=2.5t，进而求出即可；
（2）利用平行线的性质得出

CQ

CB

=

CP

CA

，进而得出答案；
（3）首先表示出△CPQ的面积为：

1

2

×CP×CQsinC，进而得出答案．

解答：解：（1）在△ABC中AB=AC=25cm，BC=30cm，
点P从点C出发，沿CA以2.5cm/秒的速度向点A运动，同时点Q从B点出发沿BC以4cm/秒的速度向点C运动，
PQ中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设运动时间为t，
则CQ=30-4t，CP=2.5t，
∵CQ=CP，
∴30-4t=2.5t，
解得：t=

60

13

，
即当t=

60

13

秒时CQ=CP；

（2）∵PQ∥AB，
∴

CQ

CB

=

CP

CA

，
∴

30-4t

30

=

2.5t

25

，
解得：t=

30

7

；

（3）在等腰三角形ABC中，AB=AC=25cm，BC=30cm，
如图所示：设BC边上的高为AD，
则AD=20，sinC=

AD

AC

=

20

25

=

4

5

，
△CPQ的面积为：

1

2

×CP×CQsinC=

1

2

（30-4t）×2.5t×

4

5

=（30-4t）t，
面积S=-（t-

15

4

）²+

225

4

，（0＜t＜7.5），
因为Q点走完BC需要7.5秒，P点走完AC需要10秒，
所以S的取值范围为：0≤S≤

225

4

．

点评：此题主要考查了平行线分线段成比例定理以及锐角三角函数关系和二次函数应用，注意数形结合表示出△CPQ的面积是解题关键．