Question

如图①，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边长在AB的同侧作等边△ADC和△CBE，
（1）你能证明AE与BD相等吗？为什么？
（2）如图②，当等边△CBE绕点C旋转后，上述结论是否仍成立？为什么？
（3）在图①中，连CK，试证明：KC平分∠AKB．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：计算题

分析：（1）AE=BD，理由为：由三角形ACD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形DCB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）结论仍然成立，理由为：由三角形ACD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到AC=CD，CB=CE，且∠ACD=∠BCE=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形DCB全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（3）连接CK，过C作CG⊥AE，CH⊥BD，由三角形ACE与三角形DCB全等，得到两三角形面积相等，由AE=BD，得到CG=CH，利用角平分线定理即可得证．

解答：解：（1）AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（2）结论仍然成立，即AE=BD，理由为：
∵△ACD与△BCE都为等边三角形，
∴AC=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB，
在△ACE和△DCB中，

AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC

，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE=BD；
（3）连接CK，过C作CG⊥AE，CH⊥BD，
∵△ACE≌△DCB，
∴S_△ACE=S_△DCB，即

1

2

AE•CG=

1

2

BD•CH，
∵AE=BD，
∴CG=CH，
∴KC平分∠AKB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．