Question

如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上，且OA=14个单位长度，OC=8个单位长度，现有两个动点，P、Q，分别从O、C同时出发，P在线段OA上且以速度为1个单位长度/秒匀速运动，Q在线段CO上以0.5个单位长度/秒匀速运动，当其中一点到达线段的终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）直接写出图中点A、B、C的坐标；
（2）写出t的取值范围；
（3）试探究在运动过程中，四边形OPBQ的面积是否为定值？若为定值，求其定值；若不为定值，请说明理由，并求其变化范围．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：动点型

分析：（1）根据题意即可得出点A、B、C的坐标；
（2）根据题意

0＜t≤ 8 0.5 0＜t≤14

解不等式即可求得t的取值范围；
（3）因为S_{四边形OPBQ}=S_{长方形OABC}-S_△BCQ-S_△ABP=0.5t+56，故四边形OPBQ的面积不是定值．根据 0.5×0＜0.5t+56≤0.5×14+56即可求得其变化范围．

解答：解：（1）∵长方形OABC的两边分别在x轴和y轴上，且OA=14个单位长度，OC=8个单位长度，
∴A（14，0）B（14，8）C（0，8），

（2）根据题意

0＜t≤ 8 0.5 0＜t≤14

∴0＜t≤14   
（3）因为S_{四边形OPBQ}=S_{长方形OABC}-S_△BCQ-S_△ABP
=14×8-

14×0.5t

2

-

(14-t)×8

2

=0.5t+56
结果中含有变量t，故四边形OPBQ的面积不是定值．
又由  0.5×0＜0.5t+56≤0.5×14+56
得  0＜S_{四边形OPBQ}≤63．

点评：本题考查了坐标与图形性质，主要利用了矩形的对边相等的性质，三角形的面积，用规则图形的面积表示出不规则的四边形OPBQ的面积是解题的关键．