Question

把抛物线y=

1

2

x²平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=

1

2

x²交于点Q．
（1）求顶点P的坐标；
（2）写出平移过程；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：二次函数图象与几何变换

专题：计算题

分析：（3）图中阴影部分的面积=S_△OPQ=

1

2

×3×9=

27

2

．
（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P点坐标；
（2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程；
（3）根据平移得到图中阴影部分的面积=S_△OPQ，然后根据三角形面积公式计算．

解答：解：（1）平移的抛物线解析式为y=

1

2

（x+6）x=

1

2

x²+3x=

1

2

（x+3）²-

9

2

，
所以顶点P的坐标为（-3，-

9

2

）；
（2）把抛物线y=

1

2

x²先向左平移3个单位，再向下平移

9

2

个单位即可得到抛物线y=

1

2

（x+3）²-

9

2

；
（3）图中阴影部分的面积=S_△OPQ=

1

2

×3×9=

27

2

．

点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．