Question

14．如图，已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形．∠ACB=∠BAD=90°，点E为边AC上任意一点（点E不与A、C两点重合），作EF⊥EB交AD于点F，交AB于点O．
（1）求证：∠AFO=∠EBO．
（2）判断△EBF的形状，并证明你的判断．（提示：可作EM⊥AE交AB于M）
（3）若E为AC延长线上任意一点（如图②），EF交DA的延长线于点F，其他条件不变，（2）中的结论是否成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可得出结论；
（2）过E作EM⊥AE交AB于M，先判定△AFE≌△MBE（AAS），得出EF=EB，∠FEA=∠BEM，进而得到∠BEF=∠MEA=90°，即可得出△BEF为等腰直角三角形；
（3）过E作EM⊥AE交AB延长线于点M，先判定△EBM≌△EFA（AAS），得出EB=EF，∠FEA=∠BEM，即可得到∠BEF=∠MEA=90°，进而得出△BEF为等腰直角三角形．

解答 解：（1）证明：∵EF⊥EB，
∴∠FEB=90°=∠BAF，
∵∠AFE=90°-∠AOF，∠ABE=90°-∠BOE，
而∠EOB=∠AOF，
∴∠AFE=∠ABE； 

（2）△EBF为等腰直角三角形，
证明：如图1，过E作EM⊥AE交AB于M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠EAM=∠AME=45°，
∴EA=EM，
∵∠FAE=45°+90°=135°，∠EMB=180°-45°=135°，
∴∠FAE=∠EMB，
在△AEP和△MBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠EMB}\\{∠AFE=∠EBM}\\{AE=ME}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△MBE（AAS），
∴EF=EB，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形；

（3）△BEF为等腰直角三角形仍成立．
证明：如图2，过E作EM⊥AE交AB延长线于点M，
易得∠EMB=∠EAB=45°=∠EAF，
∴EM=EA，
∵∠FEB+∠FAB=90°+90°=180°，
∴∠EFA+∠ABE=180°，
又∵∠EBM+∠EBA=180°，
∴∠EBM=∠EFA，
在△EBM和△EFA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMB=∠EAF}\\{∠EBM=∠EFA}\\{ME=AE}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△EFA（AAS），
∴EB=EF，∠FEA=∠BEM，
∴∠BEF=∠MEA=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行求解．