Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-2x+a与y轴交于点C （0，6），与x轴交于点B．
（Ⅰ）求这条直线的解析式；
（Ⅱ）直线AD与（Ⅰ）中所求的直线相交于点D（-1，n），点A的坐标为（-3，0）．
①求n的值及直线AD的解析式；
②求△ABD的面积；
③点M是直线AD上的一点（不与点D重合），且点M的横坐标为m，求△DBM的面积S与m之间的关系式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由点C在直线BC上，利用一次函数图象上点的坐标特征求出a值即可得出结论；
（Ⅱ）①将x=-1代入直线BC上即可求出n值，由此即可得出点D的坐标，由点A、D的坐标利用待定系数法即可求出直线AD的解析式；
②令直线BC的解析式中y=0求出x值，由此即可得出点B的坐标，再由点A、D的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论；
③过点M作ME∥x轴，交BD于点E，由点M的横坐标即可得出点M、E的坐标，进而可得出线段ME的长度，再利用三角形的面积公式结合点B、D的纵坐标即可得出△DBM的面积S与m之间的关系式．

解答 解：（Ⅰ）∵直线y=-2x+a与y轴交于点C （0，6），
∴a=6，
∴该直线解析式为y=-2x+6．
（Ⅱ）①∵点D（-1，n）在直线BC上，
∴n=-2×（-1）+6=8，
∴点D（-1，8）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（-3，0）、D（-1，8）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{8=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{b=12}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=4x+12．
②令y=-2x+6中y=0，则-2x+6=0，解得：x=3，
∴点B（3，0）．
∵A（-3，0）、D（-1，8），
∴AB=6．
S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•y_D=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
③过点M作ME∥x轴，交BD于点E，如图所示．
∵点M是直线AD上的一点（不与点D重合），且点M的横坐标为m，
∴M（m，4m+12）（m≠-1），E（-2m-3，4m+12），
∴ME=|m-（-2m-3）|=3|m+1|．
∴S_△DBM=$\frac{1}{2}$ME•（y_D-y_B）=12|m+1|，
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{12m+12（m＞-1）}\\{-12m-12（m＜-1）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（Ⅰ）利用点在直线上，求出a值；（Ⅱ）①利用待定系数法求出直线AD的解析式；②③利用三角形的面积公式求值．