Question

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：t=-x-1，双曲线y=$\frac{1}{x}$．在l上取点A₁，过点A₁作x轴的垂线交双曲线于点B₁，过点B₁作y轴的垂线交l于点A₂，请继续操作并探究：过点A₂作x轴的垂线交双曲线于点B₂，过点B₂作y轴的垂线交l于点A₃，…，这样依次得到l上的点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．记点A_n的横坐标为a_n，若a₁=2，a₂₀₁₅=-$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 首先根据a₁=2，求出a₂，a₃，a₄，a₅的值，总结出其中的规律：每3个数为一个循环；然后用2015除以3，根据商和余数的情况，判断出a₂₀₁₅的值是多少即可．

解答 解：解：当a₁=2时，B₁的纵坐标为$\frac{1}{2}$，
∵B₁的纵坐标和A₂的纵坐标相同，
∴A₂的横坐标为a₂=-1-$\frac{1}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
∵A₂的横坐标和B₂的横坐标相同，
∴B₂的纵坐标为b₂=$\frac{1}{-\frac{3}{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∵B₂的纵坐标和A₃的纵坐标相同，
∴A₃的横坐标为a₃=-1-（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{1}{3}$，
∵A₃的横坐标和B₃的横坐标相同，
∴B₃的纵坐标为b₃=$\frac{1}{-\frac{1}{3}}$=-3，
∵B₃的纵坐标和A₄的纵坐标相同，
∴A₄的横坐标为a₄=-1-（-3）=2，
∵A₄的横坐标和B₄的横坐标相同，
∴B₄的纵坐标为b₄=$\frac{1}{2}$，
∴a₁，a₂，a₃，a₄，…，每3个数一个循环，分别是2、-$\frac{3}{2}$、-$\frac{1}{3}$，
∵2015÷3=671…2，
∴a₂₀₁₅是第672个循环的第2个数，
∴a₂₀₁₅=-$\frac{3}{2}$．
故答案为：$-\frac{3}{2}$．

点评 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．