Question

8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4，BC=9，AD=6，点E，F分别在边AD，BC上，且BF=2DE，联结FE，FE的延长线于CD的延长线相交于点P，设DE=x，$\frac{PE}{EF}$=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切时，求x的值；
（3）当△AEF∽△PED时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到BF=2x，CF=9-2x，根据相似三角形的性质即可的结论；
（2）根据相切两圆的性质得到x+2x=EF，过E作EG⊥BC于G，根据勾股定理即可得到结论；
（3）①当∠EAF=∠EDP时，有$\frac{DE}{EA}=\frac{PE}{EF}$，于是得到结论；②当∠EFA=∠EDP时，过E作EG∥PC交BC于G，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）∵BF=2DE，DE=x，
∴BF=2x，
∵BC=9，
∴CF=9-2x，
∵AD∥BC，
∴△PDE∽△PCF，
∴$\frac{PE}{PF}=\frac{DE}{CF}$，
∵$\frac{PE}{EF}$=y，
∴y=$\frac{DE}{CF-DE}=\frac{x}{9-3x}$，
∴y=$\frac{x}{9-3x}$（0＜x＜3）；
（2）∵⊙E的半径=x，⊙F的半径=2x，
∵以ED为半径的⊙E与以FB为半径的⊙F外切，
∴x+2x=EF，
过E作EG⊥BC于G，
∴EG=AB=4，FG=6-3x，
∴EF=$\sqrt{E{G}^{2}+F{G}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（6-3x）^{2}}$，
∴x+2x=$\sqrt{{4}^{2}+（6-3x）^{2}}$，
解得x=$\frac{13}{9}$；
（3）当△AEF∽△PED时，
①当∠EAF=∠EDP时，有$\frac{DE}{EA}=\frac{PE}{EF}$，
即$\frac{x}{6-x}=\frac{x}{9-3x}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$；
②当∠EFA=∠EDP时，过E作EG∥PC交BC于G，
则CG=ED=x，EG=9-3x，
∵△EFA∽△FGE，
∴$\frac{EF}{FG}=\frac{EA}{FE}$，
∴EF²=FG•EA，即4²+（6-3x）²=（9-3x）（6-x），
∴x=$\frac{9+\sqrt{129}}{12}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．