Question

19．如图，AC为⊙O的直径，AB=BD，BD交AC于F，BE∥AD交AC的延长线于E点
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若AF=4CF，求tan∠E．

Answer 1

分析 （1）连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，证△ABO≌△DBO得∠1=∠ABO，从而得BG⊥AD，即∠1+∠2=90°，根据∠2=∠3知∠3+∠1=90°，得证；
（2）设CF=x，则AF=4x、OC=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$x、OF=OC-CF=$\frac{3}{2}$x，证△CDF∽△OBF得$\frac{CD}{OB}$=$\frac{CF}{OF}$，从而求得CD=$\frac{5}{3}$x、AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$x，由tanE=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$可得答案．

解答 解：（1）如图，连接CD、OD、BO，延长BO交AD于点G，

在△ABO和△DBO中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{BO=BO}\\{AO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠1=∠ABO，
∴BG⊥AD，
∴∠1+∠2=90°，
∵BE∥AD，
∴∠2=∠3，
∴∠3+∠1=90°，即OB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线；

（2）设CF=x，则AF=4x，
∴AC=5x，OC=OB=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$x，
∴OF=OC-CF=$\frac{5}{2}$x-x=$\frac{3}{2}$x，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴CD∥BG，
∴△CDF∽△OBF，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{CF}{OF}$，即$\frac{CD}{\frac{5}{2}x}$=$\frac{x}{\frac{3}{2}x}$，
则CD=$\frac{5}{3}$x，
∴AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{（5x）^{2}-（\frac{5}{3}x）^{2}}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$x，
∵BE∥AD，
∴tanE=tan∠CAD=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\frac{5}{3}x}{\frac{10\sqrt{2}}{3}x}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．