Question

4．已知x=$\root{3}{4（\sqrt{5}+1）}$-$\root{3}{4（\sqrt{5}-1）}$，则x³+12x的算术平方根是（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 观察题目，可借助于整体思想，设$\root{3}{\sqrt{5}+1}$=a，$\root{3}{\sqrt{5}-1}$=b，进行替换，加以解答．

解答 解：设$\root{3}{\sqrt{5}+1}$=a，$\root{3}{\sqrt{5}-1}$=b，则a³=$\sqrt{5}$+1，b³=$\sqrt{5}$-1．
又∵4=（$\sqrt{5}$+1）（$\sqrt{5}$-1）=a³b³，
∴x=a²b-ab²，x²=a⁴b²-2a³b³+a²b⁴，
故原式=x（x²+12）
=（a²b-ab²）（a⁴b²-2a³b³+a²b⁴+12）
=（a²b-ab²）（a⁴b²-8+a²b⁴+12）
=（a²b-ab²）（a⁴b²+a²b⁴+4）
=ab（a-b）a²b²（a²+b²+ab）
=a³b³（a³-b³）
=（$\sqrt{5}$+1）（$\sqrt{5}$-1）（$\sqrt{5}$+1-$\sqrt{5}$+1）
=4×2
=8．
则其算术平方根是：2$\sqrt{2}$．
故选：D．

点评 此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，解题时注意运用公式简便计算（a+b）（a-b）=a²-b²；（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³．同时注意用一个字母可以表示一个较复杂的数的整体思想．