Question

如图，P是⊙O的直径AB的延长线上一点，PC是⊙O的切线，C为切点，PM平分∠APC交AC于点M，tanA=

1

2

，求sin∠MPC．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OC，连结BC交PM于N，作CH⊥PM于H，根据圆周角定理得∠ACB=90°，利用正切的定义得tan∠A=

BC

AC

=

1

2

，设BC=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出AB=

5

x，由于∠A+∠ABC=90°，而∠ABC=∠OCB，所以∠A+∠OCB=90°；根据切线的性质得∠3+∠OCB=90°，则由∠A=∠3，可判断△PCB∽△PAC，根据相似比得PA=2PC，PB=

1

2

PC，PC²=PB•PA，所以PC²=

1

2

PC•（

5

x+

1

2

PC），可计算出PC=

2 5

3

x；再利用三角形外角性质可证明∠1=∠2，则CM=CN；然后证明△PAM∽△PCN，根据相似比得AM=2CN，利用AM=AC-CM得2x-CN=2CN，解得CN=

2

3

x；接着判断△CHN为等腰直角三角形，则CH=

2

2

CN=

2

3

x，最后在Rt△PCH中，利用正弦的定义求解．

解答：解：连结OC，连结BC交PM于N，作CH⊥PM于H，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠A=

BC

AC

=

1

2

，
设BC=x，AC=2x，
∴AB=

AC2+BC2

=

5

x，
∵∠A+∠ABC=90°，
而∠ABC=∠OCB，
∴∠A+∠OCB=90°，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC
∴∠3+∠OCB=90°，
∴∠A=∠3，
∴△PCB∽△PAC，
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

BC

AC

=

1

2

，
∴PA=2PC，PB=

1

2

PC，PC²=PB•PA
∴PC²=

1

2

PC•（

5

x+

1

2

PC），
∴PC=

2 5

3

x，
∵∠1=∠A+∠4，∠2=∠3+∠5，
∴∠1=∠2，
∴CM=CN，
∵PM平分∠APC交AC于点M，
∴∠4=∠5，
∴△PAM∽△PCN，
∴

AM

CN

=

PA

PC

=2，
∴AM=2CN，
而AM=AC-CM，
∴2x-CN=2CN，解得CN=

2

3

x，
∵∠1=∠2，∠MCN=90°，
∴∠2=45°，
∴CH=

2

2

CN=

2

3

x，
在Rt△PCH中，sin∠CPH=

CH

PC

=

2 3 x

2 5 3

=

10

10

，
∴sin∠MPC=

10

10

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了相似三角形的判定与性质和圆周角定理．