Question

8．如图，Rt△ABC，∠BAC=90°，D，E分别为AB，BC的中点，点F在CA的延长线上，∠FDA=∠B．
（1）求证：AF=DE；
（2）若AC═6，BC=10，求四边形AEDF的周长．

Answer 1

分析 （1）根据三角形中位线定理、直角三角形的性质证明四边形DEAF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
（2）由（1）的结论计算即可．

解答 （1）证明：∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，
∵∠BAC=90°，E为BC的中点，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，又∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠EAB，
∴EA∥DF，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∴AF=DE；
（2）解：∵∠BAC=90°，E为BC的中点，
∴EA=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=3，
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16．

点评 本题考查的是三角形中位线定理的应用、平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．