Question

16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点．若点E，F分别是AB，AC上的点，且∠EDF=90°，下列结论中正确结论的个数是（　　）
①△AED≌△CFD  ②（BE+CF）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC  ③S_△AEF≤$\frac{1}{4}$S_△ABC  ④S_{四边形AEDF}=AD•EF．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 ①根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得AD=DC，由三线合一及等腰直角三角形得∠BAD=∠C=45°，再证∠EDA=∠FDC，则△AED≌△CFD；
②根据全等可知：AE=CF，并由三角函数得：AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，代入AB=AE+BE中即可；
③设AB=AC=a，AE=CF=x，计算△AEF的面积并求最大值，与$\frac{1}{4}$S_△ABC 对比，可知结论正确；
④因为四边形AEDF的面积是△ADE和△ADF面积的和，由①知：△AED≌△CFD，则面积也相等，所以四边形AEDF的面积就是△ADC的面积，则四边形AEDF的面积=$\frac{1}{2}$AD•DC，则结论错误．

解答 解：①∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，∠C=45°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠EDF=90°，
∴∠EDA+∠ADF=90°，
∵∠FDC+∠ADF=90°，
∴∠EDA=∠FDC，
∴△AED≌△CFD，
所以选项①正确；
②由△AED≌△CFD得：AE=FC，
∴BE+CF=BE+AE=AB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{2}$AB，
∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
∴BE+CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC，
所以选项②正确；
③设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x，
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AE•AF，
=$\frac{1}{2}$x（a-x），
=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$a）²+$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∴当x=$\frac{1}{2}$a时，S△AEF有最大值为$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}{a}^{2}$，
∴S_△AEF≤$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以选项③正确；
④∵S_{四边形AEDF}=S_△ADE+S_△ADF，
=S_△DFC+S_△ADF，
=S_△ADC，
=$\frac{1}{2}$AD•DC，
而EF与$\frac{1}{2}$DC不相等，所以选项④错误．
∴本题正确结论的个数是3个，
故选C．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定．等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键；理解不规则四边形的面积由和的形式转化为一个三角形的面积，把三角形面积大小的比较转化为二次函数的最值问题，使问题得以解决．