题目内容
8．
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，求抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于A、B两点．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴x=-1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）设点P为该抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．（提示：若平面直角坐标系内两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），则线段PQ的长度PQ=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$）．
分析 （1）根据A和B关于x=-1对称即可求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）求得BC与对称轴的交点就是M；
（3）设P的坐标是（-1，p），利用两点之间的距离公式表示出BC、BP和PC的长，然后分成△BPC的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求得p的值，得到P的坐标．
解答 解：（1）A（1，0）关于x=-1的对称点是（-3，0），则B的坐标是（-3，0）．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$，
则抛物线的解析式是y=x+3；
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-x2-2x+3；
（2）在y=x+3中令x=-1，则y=-1+3=2，
则M的坐标是（-1，2）；
（3）设P的坐标是（-1，p）．
则BP2=（-1+3）2+p2=4+p2．
PC=（0+1）2+（3-p）2=p2-6p+10．
BC=32+32=18．
当BC时斜边时，BP2+PC2=BC2，则（4+p2）+（p2-6p+10）=18，
解得：p=-1或2，
则P的坐标是（-1，-1）或（-1，2）；
当BP是斜边时，BP2=PC2+BC2，则4+p2=（p2-6p+10）+18，
解得：p=4，
则P的坐标是（-1，4）；
当PC是斜边时，PC2=BP2+BC2，则p2-6p+10=4+p2+18，
解得：p=-2，
则P的坐标是（-1，-2）．
总之，P的坐标是（-1，-1）或（-1，2）或（-1，4）或（-1，-2）．
点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及对称的性质和勾股定理，正确利用p表示出△BPC的边BP和PC的长是关键．
| A． | x+5 | B． | x-5 | C． | x2-25 | D． | 非以上答案 |
| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
| 每股涨跌 | +1 | +1.5 | -1.5 | -2.5 | +0.5 |
（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？
（3）若小王按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？
如图，为了估计池塘岸边A，B两点间的距离，小玥同学在池塘一侧选取一点O，测得OA=12米，OB=7米，则A，B间的距离不可能是（ ）| A． | 5米 | B． | 7米 | C． | 10米 | D． | 18米 |