Question

8．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．
（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；
（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；
②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）连接AE、DE，如图1，根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°，由于AD=DC，根据垂直平分线的性质可得AE=CE；
（2）连接AE、ED，如图2，由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径，根据切线的性质可得∠AEF=90°，从而可证到△ADE∽△AEF，然后运用相似三角形的性质可得AE²=AD•AF．①当CF=CD时，可得AE²=3CD²，从而有EC=AE=$\sqrt{3}$CD，在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC，即可求出sin∠CAB的值；②当CF=aCD（a＞0）时，同①即可解决问题．

解答 解：（1）AE=CE．
理由：连接AE、DE，如图1，
∵∠ABC=90°，∴∠ABE=90°，
∴∠ADE=∠ABE=90°．
∵AD=DC，
∴AE=CE；

（2）连接AE、ED，如图2，
∵∠ABE=90°，∴AE是⊙O的直径．
∵EF是⊙OO的切线，
∴∠AEF=90°，
∴∠ADE=∠AEF=90°．
又∵∠DAE=∠EAF，
∴△ADE∽△AEF，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴AE²=AD•AF．
①当CF=CD时，
AD=DC=CF，AF=3DC，
∴AE²=DC•3DC=3DC²，
∴AE=$\sqrt{3}$DC．
∵EC=AE，
∴EC=$\sqrt{3}$DC．
∴sin∠CAB=sin∠CED=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{DC}{\sqrt{3}DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
②当CF=aCD（a＞0）时，sin∠CAB=$\frac{\sqrt{a+2}}{a+2}$．
提示：∵CF=aCD，AD=DC，
∴AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，
∴AE²=DC•（a+2）DC=（a+2）DC²，
∴AE=$\sqrt{a+2}$DC．
∵EC=AE，
∴EC=$\sqrt{a+2}$DC．
∴sin∠CAB=sin∠CED=$\frac{DC}{EC}$=$\frac{DC}{\sqrt{a+2}DC}$=$\frac{\sqrt{a+2}}{a+2}$．

点评 本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、三角函数、垂直平分线的性质的性质等知识，利用∠CAB=∠CED及AE=EC是解决（2）、（3）两小题的关键．