Question

2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分线AE交BC于点D，且AE⊥BE．
（1）求∠DBE的大小；
（2）求证：AD=2BE．

Answer 1

分析 （1）求出∠CAD，再证明∠DBE=∠CAD即可．
（2）先证明△AEB≌△AEG，推出BE=EG，再证明△ACD≌△BCG，推出AD=BG，由此即可证明．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°，
∵AE⊥BE，
∴∠BED=90°，
∴∠ACD=∠BED=90°，∵∠ADC=∠BDE，
∴∠DBE=∠CAD=22.5°．

（2）延长AC、BE交于点G．
∵AE⊥BG，
∴∠AEB=∠AEG=90°，
在△AEB和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAB=∠GAE}\\{AE=AE}\\{∠AEB=∠AEG}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEG，
∴BE=EG，
在△ACD和△BCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAC=∠CBG}\\{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCG，
∴AD=BG=2BE，
∴AD=2BE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．