Question

15．如图，已知抛物线的顶点为A（3，-3.2），且与y轴交于点B（0，4），交x轴于点C和点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点M的坐标为（0，a），求当|MA-MC|最大时a的值；
（3）连接BD，探索：在直线BD下方的抛物线上是否存在一点N，使△BND的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用顶点式求出抛物线解析即可；
（2）利用点M在直线AC上时，|MA-MC|最大，进而得出直线AC的解析式，求出a的值；
（3）首先表示出直线BD的解析式，进而表示出G点坐标，再表示出NG的长，利用二次函数最值求法得出答案．

解答 解；（1）∵抛物线的顶点为A（3，-3.2），
∴设此抛物线解析式为：y=a（x-3）²-3.2，
∵与y轴交于点B（0，4），
∴a（0-3）²-3.2=4，
解得：a=$\frac{4}{5}$，
∴此抛物线的解析式为：y=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，即y=$\frac{4}{5}$x²-$\frac{24}{5}$x+4；

（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，
∴点M在直线AC上时，|MA-MC|最大，
如图所示，连接AC并延长交y轴于点M，
对于y=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，取y=0，得
0=$\frac{4}{5}$（x-3）²-3.2，
解得：x₁=1，x₂=5，
∴抛物线与x轴交点为：C（1，0），D（5，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵y=kx+b的图象过点（3，-3.2）与（1，0）所以
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=-3.2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{8}{5}}\\{b=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{8}{5}$x+$\frac{8}{5}$，
∵点M坐标为：（0，a），
∴a=$\frac{8}{5}$；

（3）如图所示：在直线BD的下方的抛物线上存在点N，使△BND面积最大，
设点N的横坐标为t，则点N（t，$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4），其中0＜t＜5，
过点N作NG∥y轴，交BD于G，
设直线BD的解析式为y=cx+d，
把点B（0，4）和点D（5，0），代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{5c+d=0}\\{d=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-\frac{4}{5}}\\{d=4}\end{array}\right.$，
故直线BD的解析式为：y=-$\frac{4}{5}$x+4，
把x=t代入得：y=-$\frac{4}{5}$t+4，则G（t，-$\frac{4}{5}$t+4），
∴NG=-$\frac{4}{5}$t+4-（$\frac{4}{5}$t²-$\frac{24}{5}$t+4）=-$\frac{4}{5}$t²-4t，
∴S_△BND=$\frac{1}{2}$NG•OD=$\frac{1}{2}$（-$\frac{4}{5}$t²+4t）×5
=-2t²+10t
=-2（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{25}{2}$，
∴当t=$\frac{5}{2}$时，△BND的面积最大为：$\frac{25}{2}$，
由t=$\frac{5}{2}$，得y=$\frac{4}{5}$×（$\frac{5}{2}$）²-$\frac{24}{5}$×$\frac{5}{2}$+4=-3，
∴N点的坐标为：N（$\frac{5}{2}$，-3）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求函数解析式、二次函数最值求法、三角形面积表示方法等知识，正确表示出NG的长是解题关键．