(1)探索发现:如图1所示.在正方形ABCD中.E是AB上一点.F是AD延长线上一点.且DF=BE．填空:①∠ECF为90度,②线段CE.CF之间的数量关系是CE=CF．(2)猜想论证:如图2所示.在正方形ABCD中.E是AB上一点.F是AD延长线上一点.且DF=BE．若G在AD上.且∠GCE=45°.请判断线段BE.EG.GD之间的数量关系.并说明理由．解答中所积累的经验� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．（1）探索发现：如图1所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
填空：①∠ECF为90度；②线段CE、CF之间的数量关系是CE=CF．
（2）猜想论证：如图2所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．若G在AD上，且∠GCE=45°，请判断线段BE、EG、GD之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题：运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=18cm，E是AB上一点，当∠DCE=45°时，BE=6cm，请直接写出DE的长度．

分析（1）根据题意证明△CBE≌△CDF，根据全等三角形的性质求出∠ECF的度数和线段CE、CF之间的数量关系；
（2）根据（1）的结论、结合题意证明△GCE≌△GCF，得到GE=GF，等量代换即可；
（3）由（1）（2）得ED=BE+DG，设DE=x，根据勾股定理求出x的值，即可得到答案．

解答解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠B=∠ADC=90°，
在△CBE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠DCF+∠ECD=90°，∠ECF=90°，
故答案为：90；
②∵△CBE≌△CDF，
∴CE=CF，
故答案为：CE=CF；
（2）BE+BD=EG．
证明：由（1）得，CE=CF，∠ECF=90°，
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=45°，
∴∠GCE=∠GCF，
在△GCE和△GCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF，
∵GF=GD+DF=GD+BE，
∴BE+BD=EG；
（3）如图3，作CG⊥AD，交AD的延长线于G，
∵∠A=∠B=90°，CG⊥AD，
∴四边形ABCG是矩形，又AB=BC，
∴四边形ABCG是正方形，
∴CG=AB=18，
由（1）（2）得ED=BE+DG，
设DE=x，则DG=x-6，AD=24-x，
由勾股定理得，AE²+AD²=DE²，即12²+（24-x）²=x²，
解得，x=15，
答：DE的长度为15cm．