Question

12．如图，在Rt△BOC 中，以OB为半径的⊙O交斜边OC于点E，AB是⊙O的直径，过点A作AD∥OC交⊙O于点D，连接BD、CD、AE，延长AE交BC于点F．下列结论：①CD是⊙O的切线；②OC垂直平分BD；③点E是△BCD的内心；④EF=CF，其中一定成立的是（　　）

• A． ①②③
• B． ②③④
• C． ①③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 连接OD，由等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠COD=∠COB，由SAS证明△COD≌△COB，得出∠CDO=∠CBO=90°，得出①成立；由等腰三角形的三线合一性质得出②成立；由垂径定理得出$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，由弦切角定理和圆周角定理得出∠CBE=∠BAE，∠BAE=∠DBE，得出∠CBE=∠DBE，得出点E是△BCD的内心，③成立；④不成立；即可得出结果．

解答 解：连接OD，如图所示：
∵OB、OD为⊙O的半径，
∴OB=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD∥OC，
∴∠OAD=∠COB，∠ODA=∠COD，
∴∠COD=∠COB．
在△CDO和△CBO中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}&{\;}\\{∠COD=∠COB}&{\;}\\{OC=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO=90°，CD=CB，∠DCO=∠BCO，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，
∴①成立；
∵CD=CB，∠DCO=∠BCO，
∴OC垂直平分BD，
∴②成立，
连接BE，
∵OC垂直平分BD，
∴$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠CBE=∠BAE，∠BAE=∠DBE，
∴∠CBE=∠DBE，
∴BE平分∠DBC，
又∵∠DCO=∠BCO，
∴CE平分∠BCD，
∴点E是△BCD的内心，
∴③成立；
∵没有条件得出∠CEF=∠ECF，
∴EF与CF不一定相等，
∴④不成立；
成立的是①②③．
故选：A．

点评 本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、弦切角定理、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，需要证明三角形全等和运用弦切角定理、圆周角定理等知识才能得出结果．