Question

3． 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C₁处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当AB=4，BC=4，CC₁=5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
（3）在（2）的条件下，求点B₁到最短路径的距离．

Answer 1

分析 根据题意，先将长方体展开，再根据两点之间线段最短．

解答 解：（1）如图，
木柜的表面展开图是矩形ABC'₁D₁或ACC₁A₁．
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC'₁或AC₁；


（2）蚂蚁沿着木柜表面矩形ABC'₁D₁爬过的路径AC'₁的长是l₁=$\sqrt{{4}^{2}+（4+5）^{2}}$．
蚂蚁沿着木柜表面矩形矩形AB₁C₁D爬过的路径AC₁的长l₁=$\sqrt{97}$，

蚂蚁沿着木柜表面ACC₁A₁爬过的路径AC₁的长是l₂=$\sqrt{（4+4）^{2}+{5}^{2}}$．
l₁＞l₂，故最短路径的长是l₂$\sqrt{89}$．

（3）作B₁E⊥AC₁于E，
∵∠C₁EB₁=∠C₁A₁A，∠A₁C₁A是公共角，
∴△AA₁C₁∽△B₁EC₁，
即$\frac{{B}_{1}E}{A{A}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$，
则B₁E=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{A{C}_{1}}$•AA₁=$\frac{4}{\sqrt{89}}$•5=$\frac{20}{89}$为所求．

点评 此题考查了平面展开-最短路径问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．