Question

15．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且AE=CD，BE与AD相交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：BE=AD；
（2）求证：PQ=$\frac{1}{2}$BP．

Answer 1

分析 （1）根据SAS定理，即可判断两个三角形全等，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到∠PBQ=30°，根据直角三角形的性质即可得到．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形．
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
在△BAE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CD}\\{∠BAC=∠ACB}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△ACD，
∴BE=AD；

（2）答：PQ=$\frac{1}{2}$BP．
证明：∵△BAE≌△ACD，
∴∠ABE=∠CAD．
∵∠BPQ为△ABP外角，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．
∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°
∵BQ⊥AD，
∴∠PBQ=30°，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BP．

点评 本题考查了全等三角形的判定以及直角三角形的性质：直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．