Question

19．实践与探究：已知AB∥CD，点P是平面内一点．

（1）如图1，若点P在AB、CD内部，请探究∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论．
（2）如图2，若点P移动到AB、CD外部，那么∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系是否发生变化？请给出你的证明．

Answer 1

分析 （1）作PQ∥AB，根据平行线性质得AB∥PQ∥CD，则∠1=∠B，∠2=∠D，所以∠BPD=∠B+∠D；
（2）先根据平行线性质得∠B=∠BOD，再根据三角形外角性质得∠BOD=∠BPD+∠D，则∠BPD=∠B-∠D．

解答 （1）∠BPD=∠B+∠D，
证明：作PQ∥AB，如图，
∵AB∥CD，
∴AB∥PQ∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠B+∠D

（2）发生变化，应该为∠BPD=∠B-∠D，
证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
而∠BOD=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D，
即∠BPD=∠B-∠D．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．