Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，连接AD，E为AB上一点，过E作EF∥BC交AD于F．
（1）求证：EF=AF．
（2）若H为EC的中点，连接FH、DH，求证：DH⊥FH．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角三角形斜边上的中线

专题：证明题

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=BD=CD，再根据等边对等角可得∠B=∠BAD，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AEF，从而得到∠AEF=∠BAD，再根据等角对等边可得EF=AF；
（2）延长FH交BC于G，根据线段中点的定义可得EH=CH，两直线平行，内错角相等可得∠FEH=∠GCH，然后利用“角边角”证明△EFH和△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得FH=GH，EF=CG，再求出DF=DG，然后根据等腰三角形三线合一的证明即可．

解答：证明：（1）∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠BAD，
∵EF∥BC，
∴∠B=∠AEF，
∴∠AEF=∠BAD，
∴EF=AF；

（2）如图，延长FH交BC于G，
∵H为EC的中点，
∴EH=CH，
∵EF∥BC，
∴∠FEH=∠GCH，
在△EFH和△CGH中，

∠FEH=∠GCH EH=CH ∠EHF=∠CHG

，
∴△EFH≌△CGH（ASA），
∴FH=GH，EF=CG，
∵EF=AF=CG，AD=CD，
∴AD-AF=CD-CG，
即DF=DG，
又∵DF=DG，FH=GH，
∴DH⊥FH．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键，（2）难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形．