Question

已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB=OC．
（1）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由；
（2）求证：△ABC是等腰三角形；
（3）连接DE，那么DE与BC是否平行？为什么？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）由BD，CE是两条高就可以得出∠BEC=∠CDB=90°，由OB=OC就可以得出∠BCE=∠DBC，就可以得出△BCE≌△CBD，就可以得出CE=BD，得出OE=OD，得出结论；
（2）由△BCE≌△CBD就可以得出∠EBD=∠DCB，得出AB=AC，从而得出结论；
（3）由△BCE≌△CBD可以得出CD=BE，就可以得出AD=AE，得出∠AED=

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（180°-∠A），由∠ABC=

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（180°-∠A），得出∠AED=∠ABC而得出结论．

解答：解：（1）点O在∠BAC的角平分线上．
理由：∵BD，CE是△ABC的两条高，
∴∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠BCE=∠DBC．
在△BCE和△CBD中，

∠BEC=∠CDB ∠BCE=∠DBC BC=CB

，
∴△BCE≌△CBD（AAS），
∴CE=BD，
∴CE-OC=BD-OB，
∴OE=OD．
∴点O是否在∠BAC的角平分线上；
（2）∵△BCE≌△CBD，
∴∠EBD=∠DCB．
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（3）DE∥BC．
理由：如图1，
∵△BCE≌△CBD，
∴BE=CD，
∴AB-BE=AC-CD，
∴AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∴∠AED=

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（180°-∠A）．
∵∠EBD=∠DCB，
∴∠ABC=

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（180°-∠A），
∴∠AED=∠ABC，
∴DE∥BC．

点评：本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．