Question

20．如图抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C（0，-3），顶点D坐标为（-1，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如题图（1），求点A、B的坐标，并直接写出不等式ax²+bx+c＞0的解集；
（3）如题图（2），连接BD、AD，点P为线段AB上一动点，过点P作直线PQ∥BD交线段AD于点Q，求△PQD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用顶点式求出解析式即可；
（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围即为所求；
（3）根据PQ∥BD，得到△APQ∽△ABD，设AP=m，由相似三角形的面积比等于相似比的平方求出S_△APQ，则S_△PQD=S_△APD-S_△APQ，根据二次函数的性质求出最大值即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）²-4，
将（0，-3）代入，得：-3=a（x+1）²-4，
解得a=1，
∴抛物线解析式为：y=（x+1）²-4；  
（2）当y=0时，（x+1）²-4=0，得x₁=1，x₂=-3
∴抛物线与x轴两交点坐标为：A（-3，0），B（1，0），
对于不等式ax²+bx+c＞0的解集，即找到抛物线位于x轴上方时，相应的x的取值范围．
∴不等式的解集为x＜-3或x＞1；
（3）设AP=m
S_△PQD=S_△APD-S_△APQ
∵直线PQ∥BD
∴△APQ∽△ABD
得$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABD}}=（\frac{AP}{AB}）^{2}=（\frac{m}{4}）^{2}$，而S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴S_△APQ=$\frac{{m}^{2}}{2}$，
而S_△APD=$\frac{1}{2}$×m×4=2m，
∴S_△PQD=S_△APD-S_△APQ=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m，
当m=2时，S_最大=2．

点评 本题主要考查了二次函数解析式的求法、一元二次不等式与二次函数的关系、相似三角形的判定与性质、三角形的面积表示以及运用二次函数性质求最值等知识的综合运用，运用相似三角形的性质表示出S_△APQ和S_△APD是解决第3小题的关键．