Question

9．函数y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）的两旁，则m的取值范围是m＜2．

Answer 1

分析 设抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β，因为α、β是关于x的方程x²+2mx+m-7=0的两个不相等的实数根，所以由根与系数关系得：α+β=-2m，αβ=m-7，再根据抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁可得α＜1，β＞1，进而可求出m的取值范围．

解答 解：∵抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点在（1，0）两旁，
∴关于x的方程x²+2mx+m-7=0有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac＞0，
即：（2m）²-4（m-7）＞0，
∴m为任意实数①
设抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点的坐标分别为（α，0）、（β，0），且α＜β
∴α、β是关于x的方程x²+2mx+m-7=0的两个不相等的实数根，
由根与系数关系得：α+β=-2m，αβ=m-7，
∵抛物线y=x²+2mx+m-7与x轴的两个交点分别位于点（1，0）的两旁
∴α＜1，β＞1
∴（α-1）（β-1）＜0
∴αβ-（α+β）+1＜0
∴（m-7）+2m+1＜0
解得：m＜2②
由①、②得m的取值范围是m＜2，
故答案为：m＜2．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax²+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax²+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax²+bx+c=0无实数根即△＜0．