Question

已知△ABC是圆O的内接三角形，P是△ABC的内心，AP交BC于D，交圆O于E，延长AE至F，PE=EF，求证：PC⊥FC．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：证明题

分析：根据三角形内心的定义得到∠5=∠6，∠2=∠3，利用三角形外角性质得∠1=∠5+∠2=∠5+∠3，再根据圆周角定理得到∠4=∠6，所以∠4=∠5，则∠1=∠3+∠4，即∠1=∠PCE，得到EC=EP，于是有PE=EF=EC，根据等腰三角形的性质得∠7=∠F，利用三角形内角和定理可计算出∠3+∠4+∠7=90°，然后根据垂直的定义即可得到结论．

解答：证明：∵P是△ABC的内心，
∴PA平分∠BAC，PC平分∠ACB，
∴∠5=∠6，∠2=∠3，
∴∠1=∠5+∠2=∠5+∠3，
∵∠4=∠6，
∴∠4=∠5，
∴∠1=∠3+∠4，即∠1=∠PCE，
∴EC=EP，
∵PE=EF，
∴PE=EF=EC，
∴∠7=∠F，
∴∠3+∠4+∠7=

1

2

×180°=90°，
∴PC⊥FC．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了圆周角定理．