Question

1．如图，△ABC三条角平分线AD、BE，CF交于点G，GH⊥BC于H，求证：∠BGD=∠CGH．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义和三角形内角和定理得到∠BGD=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根据直角三角形两锐角互余得到∠CGH=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，证明结论．

解答 证明：∵BG、AG分别是△ABC的角平分线，
∴∠ABG=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠BGD=∠ABG+∠BAG
=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠BAC）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∵CG平分∠ACB，
∴∠HCG=$\frac{1}{2}$∠ACB
∵GH⊥BC，
∴∠CGH=90°-∠HCG
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BGD=∠CGH．

点评 本题考查的是三角形内角和定理、三角形角平分线和高的定义，掌握三角形内角和是180°是解题的关键》