Question

13．如图，在△ABC中，∠DAB=∠C，∠B的平分线BN交AD于M．求证：
（1）AM=AN；
（2）AB²-AN²=BM•BN．

Answer 1

分析 （1）由BN平分∠ABC，可得∠ABN=∠CBN，又由∠DAB=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠AMN=∠ANM，利用等角对等边证得AM=AN；
（2）因AB²-AN²=（AB+AN）（AB-AN）=BM•BN，而由（1）知AM=AN，联想割线定理，构造辅助圆即可证得结论．

解答 证明：（1）∵BN平分∠ABC，
∴∠ABN=∠CBN，
∵∠DAB=∠C，
∴∠ABN+∠DAB=∠CBN+∠C，
即∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN；

（2）以AM长为半径作⊙A，交AB于F，交BA的延长线于E．则AE=AF=AN．
由割线定理有
BM•BN=BF•BE
=（AB+AE）（AB-AF）
=（AB+AN）（AB-AN）
=AB²-AN²，
即AB²-AN²=BM•BN．

点评 本题主要考查了切割线定理，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，解决（1）小题的关键是证明∠AMN=∠ANM；（2）小题的关键是利用割线定理得到BM•BN=BF•BE，注意到BF=AB-AN，而BE=AB+AN．