Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°-cos72°的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,黄金分割,解直角三角形

专题：计算题

分析：（1）由等腰三角形ABC中，利用顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；
（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．

解答：解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=BC=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BD

=

BC

CD

，即

x+1

1

=

1

x

，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（负值，舍去），
则x=

-1+ 5

2

；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=BC，
∴E为CD中点，即DE=CE=

-1+ 5

4

，
在Rt△ABE中，cosA=cos36°=

AE

AB

=

1+ -1+ 5 4

-1+ 5 2 +1

=

5 +1

4

，
在Rt△BCE中，cosC=cos72°=

EC

BC

=

-1+ 5 4

1

=

-1+ 5

4

，
则cos36°-cos72°=

5 +1

4

-

-1+ 5

4

=

1

2

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及一元二次方程的解法，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．