题目内容

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
②∠BOC=90°+
1
2
∠A；
③EF不能成为△ABC的中位线；
④设OD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．
其中正确的结论是（　　）
A、①②③B、①②④
C、②③④D、①③④
考点：三角形中位线定理,圆与圆的位置关系
专题：
分析：根据角平分线的定义可得∠OBC=∠OBE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，从而得到∠OBE=∠BOE，再根据等角对等边可得OE=BE，同理可得OF=CF，然后根据圆与圆的位置关系判断①正确；根据角平分线的定义和三角形的内角和定理表示出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式整理即可判断②正确；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到BC的距离等于点O到AC的距离OD，再根据垂线段最短可得OD＜OA，从而得到点O不在△ABC的中位线上，即EF不能成为△ABC的中位线，判断出③正确；根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O到AB、AC的距离相等，都是m，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：解：∵BO是∠ABC的平分线，
∴∠OBC=∠OBE，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，
∴∠OBE=∠BOE，
∴OE=BE，
同理可得OF=CF，
∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故①正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=
1
2
∠ABC+
1
2
∠ACB=
1
2
（180°-∠A），
在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-
1
2
（180°-∠A）=90°+
1
2
∠A，故②正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到BC的距离等于点O到AC的距离OD，
又由垂线段最短可得OD＜OA，
∴点O不在△ABC的中位线上，
即EF不能成为△ABC的中位线，故③正确；
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴点O到AB、AC的距离相等，都是OD=m，
∴S△AEF=
1
2
AE•m+
1
2
AF•m=
1
2
mn，故④错误；
综上所述，结论正确的是①②③．
故选A．
点评：本题考查了三角形的中位线，圆与圆的位置关系，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短，熟记各性质是解题的关键．
练习册系列答案
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有一组数2，4，-2，5，x2+1，2，-2，它们的众数是x2+1，则x=
 
．
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2
x
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6
x
=5；③x+
12
x
=7．请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程x+
n2-1
x+2
=2（n-1）（n为正整数）的根，你的答案是：
 
．
若|x+1|=1+x成立，则x的取值范围是
 
．
在下列数-3，0，-5，1中，最小的是（　　）
A、-3B、0C、-5D、1
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A、（2n-1，2n）
B、（2n-
1
2
，2n）
C、（2n-1-
1
2
，2n-1）
D、（2n-1-1，2n-1）
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A、10B、16C、18D、20
已知反比例函数y=-
15
x
，当x取-1，2，-6，
2
3
-3中某一个数时，能使y的值大于零的概率是（　　）
A、
1
5
B、
2
5
C、
3
5
D、
4
5
某中学在创建“特色校园”活动中，将本校的办学理念做成宣传牌CD，放置在教学楼的顶部（如图所示）教学楼前有道马路，小李在马路对面山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为30°，已知山坡AB的坡度i=1：
3
，AB=16米，AE=30米．（i=1：
3
是指坡面的铅直高度BH与水平宽AH的比）
（1）求点B距水平AE的高度BH；
（2）求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：
2
≈1.414，
3
≈1.732）

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