Question

3．如图（a）△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于E，交CE于F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如图（b）将△ADE平移至△A′D′E′，使E′落在BC上，其它条件不变，试猜想BE′与CF的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF；
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．

解答 （1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠EAD，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠EAD+∠AED=90°，
∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴∠CFA=∠CEF，
∴CE=CF；
（2）猜想：BE′=CF．
证明：如图（b），过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵AF平分∠CAB，ED⊥ABEG⊥AC，
∴ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴D′E′=GE，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵CD⊥AB于D，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GCE=∠B}\\{∠CGE=∠BD′E′}\\{GE=D′E′}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△BE′D′（AAS），
∴CE=BE′，
由（1）可知CE=CF，
∴BE′=CF．

点评 本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中，通过辅助线构造全等三角形是解决第2小题的关键．