Question

4．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BO线与⊙O相交于点D，⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，连接AD．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）若AD=2$\sqrt{5}$，⊙O的半径为5，求线段EC的长度．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由切线的性质得出AE⊥OA，由等腰三角形的性质得出∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠3=∠1=∠2，由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠AOD=∠BDC，证出CE∥OA，即可得出结论；
（2）由圆周角定理得出∠BAD=90°，由勾股定理求出AC=AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，由圆周角定理得出∠ACD=∠ABD，因此sin∠ACD=sin∠ABD，由三角函数得出$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{BD}$，求出AE=4，再由勾股定理求出EC即可．

解答 （1）证明：连接OA，如图所示：
∵AE是⊙O的切线，
∴AE⊥OA，
∵△ABC内接于⊙O，且AB=AC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵OA=OB，
∴∠3=∠1=∠2，
又∵，∠AOD=∠1+∠3，∠BDC=∠BAC，
∴∠AOD=∠BDC，
∴CE∥OA，
∴AE⊥DE；
（2）解：∵BD是直径，
∴∠BAD=90°，
∴AC=AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠ACD=∠ABD，
∴sin∠ACD=sin∠ABD，
即$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{BD}$，即$\frac{AE}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{10}$，
解得：AE=4，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴EC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{4}^{2}}$=8．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解决问题的关键．