Question

14．如图，平行四边形ABCD的顶点A（-12，0），B（0，9），C（0，$\frac{21}{4}$），抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B．
（1）求点D的坐标．
（2）关于x的方程ax²+bx+c-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x有且只有一个解，求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上y=ax²+bx+c上一动点（不与A、B重合），过点P作x轴垂线交线段CD于Q，若∠AQD=45°-∠BQC，直接写出点P的横坐标．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形性质即可求解．
（2）根据关于x的方程ax²+bx+c-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x有且只有一个解，利用判别式△=0求出a即可．
（3）方法一：如图所示，在直线AB上方作等腰直角三角形△ABE，EN⊥y轴，垂足为N，以AE中点M为圆心AM为半径画圆交直线CD于₁1，Q₂，可以证明点Q₁1，Q₂就是满足条件的QQ，再利用MA=MQ列出方程解决．
方法二；利用旋转法，求出点H坐标，再根据k_QB=k_BH列出方程求解．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵OB=9，OC=$\frac{21}{4}$，
∴AD=BC=9-$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$，
∴点D坐标为（-12，-$\frac{15}{4}$）．
（2）∵抛物线经过点A、B．
∴$\left\{\begin{array}{l}{144a-12b+c=0}\\{c=9}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{48a+3}{4}$，
由ax²+$\frac{48a+3}{4}$x+9-$\frac{21}{4}$=$\frac{3}{4}$x，整理得：4ax²+48ax+15=0，
∵此方程有且只有一个解，
∴△=0，
∴（48a）²-16a×15=0，
∴a=$\frac{5}{48}$（或0不合题意舍弃），
∴抛物线表达式为y=$\frac{5}{48}$x²+2x+9．
（3）如图所示，在直线AB上方作等腰直角三角形△ABE，EN⊥y轴，垂足为N，以AE中点M为圆心AM为半径画圆交直线CD于Q₁，Q₂，
∵∠AEB=45°，∠AEB+∠AQ₁B=180°，
∴∠AQ₁B=135°，
∴∠AQ₁D+∠BQ₁C=45°，
∴点Q₁符合条件，同理点Q₂也符合条件，
∵∠EBN+∠ABO=90°，∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAO=∠EBN，
在△EBN和△BAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENB=∠AOB=90°}\\{∠EBN=∠BAO}\\{EB=AB}\end{array}\right.$，
∴△EBN≌△BAO，
∴BN=AO=12，EN=BO=9，
∴点E（-9，21），点M（-$\frac{21}{2}$，$\frac{21}{2}$），
∵直线CD为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{21}{4}$，
设点P的横坐标为m，则点Q₁（m，$\frac{3}{4}$m+$\frac{21}{4}$），
由AM=MQ₁得到：（$\frac{15\sqrt{2}}{2}$）²=（m+$\frac{21}{2}$）²+（$\frac{3}{4}$m-$\frac{21}{4}$）²，
整理得：5m²+42m+81=0解得m=-3或-$\frac{27}{5}$，
故P点横坐标为-3或-$\frac{27}{5}$．
附（3）方法二：过点A作BQ垂线交BQ的延长线于H（见下图），设点P横坐标为t，则Q（t，$\frac{3}{4}t+\frac{21}{4}$），
∵∠AQD=45°-∠BQC，
∴∠AQH=45°
∴△AQH是等腰直角三角形，
∴点Q可以视为的A绕点H顺时针旋转90°而成，设H（m，n），
将点H平移至原点H′（0，0），则A′（-12-m，-n），
将A′绕原点顺时针旋转90°得Q′（-n，12+m）
则Q平移前坐标（m-n，12+m+n），
∴m-n=t，12+m+n=$\frac{3}{4}$t+$\frac{21}{4}$，
∴m=$\frac{7t-27}{8}$，n=$\frac{-t-27}{8}$，
∴点H（$\frac{7t-27}{8}$，$\frac{-t-27}{8}$），
∵点H、点Q、点B共线，
∴k_QB=k_BH，
∴$\frac{\frac{3}{4}t+\frac{21}{4}-9}{t-0}=\frac{\frac{-t-27}{8}-9}{\frac{7t-27}{8}-0}$，
整理得到：5t²+42t+81=0，
∴t=-3或-$\frac{27}{5}$．
故点P横坐标为-3或-$\frac{27}{5}$．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识、平行四边形的性质、等腰直角三角形等知识，综合性比较强，通过45度角想到等腰直角三角形添加了辅助线是解题的关键．