Question

已知关于x的方程x2-2

-a

x+

(a-1)2

4

=0有实根，其中a是实数，求a⁹⁹+x⁹⁹的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：计算题

分析：由方程有实根，所以有-a≥0且△≥0，即△=（-2

-a

）²-4×1×

(a-1) 2

4

=-4a-（a-1）²=-（a+1）²≥0，则得到a+1=0，即a=-1，把a=-1代入原方程有：x²-2x+1=0，解方程得x₁=x₂=1，最后将a=-1，x=1代入所求的代数式计算即可．

解答：解：∵关于x的方程x2-2

-a

x+

(a-1)2

4

=0有实根，
∴-a≥0且△≥0，
即△=（-2

-a

）²-4×1×

(a-1) 2

4

=-4a-（a-1）²=-（a+1）²≥0，
则a+1=0，即a=-1；
把a=-1代入原方程有：x²-2x+1=0，
解方程得x₁=x₂=1．
所以a⁹⁹+x⁹⁹=（-1）⁹⁹+1⁹⁹=-1+1=0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了二次根式的定义和幂的含义．