题目内容
20．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB．（1）如图1所示，若∠AOB=120°，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，求∠MON的度数；
（2）如图2所示，∠AOB=x°，射线OP、射线OQ分别从OC、OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O顺时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转；
①当运动t秒时，请分别写出∠AOP和∠COQ的度数（用x、t表示）；∠AOP和∠COQ的数量关系如何？
②若∠AOB=150°，当t为何值时，OP⊥OQ？
（3）如图3所示，∠AOB是直角，从O点出发引射线OD，且∠AOD-∠BOD=∠COD，请直接写出∠COD与∠AOB的度数之比．
分析 （1）先根据已知得：∠AOC=40°，再由角平分线的定义和角的和差可得结论；
（2）①直接根据速度和时间表示：∠COP=t×1=t°，∠BOQ=t×2=2t°，最后由角的和与差表示结论，从而由结论可得∠AOP和∠COQ的数量关系；
②由图可知：当∠COQ+∠COP=90°时，OP⊥OQ，根据∠COQ+∠COP=90°列等式可得结论；
（3）先计算∠AOC的度数，由已知等式可得：∠AOC=∠BOD，所以得∠COD=30°，可得最后的比的关系．
解答 解：（1）如图1，∵OC平分∠AOB，
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}$×120°=40°，
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=$\frac{1}{2}$∠AOC=20°，
∴∠MON=∠AOM-∠AON=60°-20°=40°；
（2）①∵∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB=$\frac{1}{3}x°$，
由题意得：∠COP=t×1=t°，
∠BOQ=t×2=2t°，
∴∠AOP=∠AOC-∠COP=（$\frac{1}{3}x-t$）°，
∠COQ=∠BOC-∠BOQ=（$\frac{2}{3}x-2t$）°，
∴∠COQ=2∠AOP，
②当∠COQ+∠COP=90°时，OP⊥OQ，
即（$\frac{2}{3}$x-2t）+t=90，
把x=150代入得：$\frac{2}{3}$×150-2t+t=90，
t=10，
∴当t=10秒时，OP⊥OQ；
（3）如图3，∵∠AOB=90°，∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB，
∴∠AOC=30°，
∵∠AOD-∠BOD=∠COD，
∴∠AOC+∠COD-∠BOD=∠COD，
∴∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠COD=90°-30°-30°=30°，
∴∠COD：∠AOB=30°：90°=1：3．
点评 本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、垂直的定义以及角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
| A． | 20=0 | B． | a•2a=3a | C． | （ab2）3=3a3b6 | D． | 2a6÷a-2=2a8 |
| A． | 0 | B． | 1 | C． | 2 | D． | 5 |
| A． | （-6，-1） | B． | （1，-6） | C． | （6，1） | D． | （6，-1） |
| A． | $\frac{x}{300}$=$\frac{2x+1.5}{300}$-93 | B． | $\frac{x}{300}$=$\frac{2x+1.5}{300}$+93 | ||
| C． | $\frac{x}{300}$=$\frac{2x+1.5}{300}$-$\frac{93}{3600}$ | D． | $\frac{x}{300}$=$\frac{2x+1.5}{300}$+$\frac{93}{3600}$ |