Question

19．已知：如图，在△ABC中，CD是中线，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E，连接EB．
（1）求证：AE=BC；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF．当△ABF满足什么条件时，四边形AEBC是矩形？（写出你的猜想，并说明理由）

Answer 1

分析 （1）首先证明AD=BD，再根据平行线的性质可得∠EAB=∠CBA，然后再证明△AED≌△BCD可得AE=BC；
（2）当AB=BF时，四边形AEBC是矩形；根据AE=BC，AE∥BC，可证明四边形ACBE是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得CB⊥AF，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论．

解答 （1）证明：∵CD是中线，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠EAB=∠CBA，
在△AED和△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAD=∠CBD}\\{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△BCD（ASA），
∴AE=BC；

（2）解：当AB=BF时，四边形AEBC是矩形，
∵AE=BC，AE∥BC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB=BF，AC=CF，
∴CB⊥AF，
∴∠ACB=90°，
∴四边形AEBC是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形．