Question

7．已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD=8，BF=5，则AC的长等于13．

Answer 1

分析 根据ASA证得△AFB≌△DFB，得出AB=BD，AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=4，根据勾股定理求得BD，根据三角形面积公式求得AG，然后根据勾股定理即可求得．

解答 解：∵AD⊥BE，
∴∠AFB=∠DFB=90°，
在△AFB和△DFB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠DFB}\\{BF=BF}\\{∠ABF=∠DBF}\end{array}\right.$
∴△AFB≌△DFB，
∴AB=BD，AF=FD=$\frac{1}{2}$AD=4，
∴AB=BD=$\sqrt{B{F}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∵BD=DC，
∴BC=2$\sqrt{41}$，
作AG⊥BC于G，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AG=$\frac{1}{2}$AD•BF，
∴AG=$\frac{AD•BF}{BD}$=$\frac{8×5}{\sqrt{41}}$=$\frac{40}{\sqrt{41}}$，
∴DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-\frac{4{0}^{2}}{41}}$=$\frac{32}{\sqrt{41}}$，
∴CG=$\frac{32}{\sqrt{41}}$+$\sqrt{41}$=$\frac{73}{\sqrt{41}}$
∴AC=$\sqrt{A{G}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{\frac{4{0}^{2}}{41}+\frac{7{3}^{2}}{41}}$=13；        
故答案为：13．

点评 本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．